Algèbre linéaire Exemples

$3 a + 21 = 5 b$ , $4 b + 6 = - 9 a$

Étape 1

Soustrayez $21$ des deux côtés de l’équation.

$3 a = 5 b - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Étape 2

Soustrayez $5 b$ des deux côtés de l’équation.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 6 = - 9 a$

Étape 3

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b = - 9 a - 6$

Étape 4

Ajoutez $9 a$ aux deux côtés de l’équation.

$3 a - 5 b = - 21, 4 b + 9 a = - 6$

Étape 5

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & - 21 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 6

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{- 21}{3} \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 & 4 & - 6 \end{array}]$

Étape 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 4 - 9 (- \frac{5}{3}) & - 6 - 9 \cdot - 7 \end{array}]$

Étape 6.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 19 & 57 \end{array}]$

Étape 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{57}{19} \end{array}]$

Étape 6.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & - 7 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & - 7 + \frac{5}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 6.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Étape 7

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$a = - 2$

$b = 3$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(- 2, 3)$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 3 \end{array}]$